Verser l'eau et la levure dans le bol d'un robot pâtissier. Commencer à mélanger puis incorporer progressivement le lait chaud, le sucre en poudre, le sel, l'œuf, la graisse/huile végétale et la moitié de la farine.
Mélanger pendant 2 minutes et ajouter le restant de farine. Pétrir jusqu'à obtenir une pâte lisse, couvrir avec un torchon propre et laisser lever 1 heure.
Quand la pâte est prête, l'abaisser sur un plan de travail fariné jusqu'à une épaisseur de 1 cm. Utiliser un 1 emporte-pièce pour couper les beignets. Placer les beignets sur une plaque de cuisson et laisser lever dans un endroit chaud pendant 30-45 minutes.
Préparer le glaçage en mélangeant le lait, le sucre glace et l'extrait de vanille. Fouetter jusqu'à obtenir une crème lisse.
Faire chauffer l'huile de friture à 180ºC. Faire frire les beignets 2-3 minutes de chaque côté puis égoutter sur du papier essuie-tout ou sur une grille. Tremper dans le glaçage puis laisser refroidir 30 minutes jusqu'à ce que le glaçage ait durci.
Couper les beignets froids en 2 puis les garnir de crème glacée. Servir.
